Distribusi Probabilitas

• Dasar Penyusun Distribusi Probabilitas

Probabiltas sangat dibutuhkan, karena kebenaran dari suatu kesimpulan yang dibuat dari analisis data sebetulnya tidak dapat dipastikan benar secara absolut, disebabkan data berdasarkan dari sampel

Distribusi Probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumnpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Probabilitas kumulatif adalah probalitas dari suatu variabel acak yang mempunyai nilai sama atau kurang dari suatu nilai tertentu. Misalnya nilai variat tersebut = x, maka Probabilitas kumulatif adalah P(Xx), maka =1– P (Xx),

Fungsi distribusi peluang pada umumnya dibedakan atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

• Variabel Acak

 

1.  Distribusi Binomial

Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepalaekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

 

Rumus Distribusi Binomial

a). Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan.

Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan.

b). Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari

peristiwa berikut :

a). Mata dadu 5 muncul 1 kali

b). Mata dadu genap muncul 2 kali

c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.

 

a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki

probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :

p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali )

P(X=1) = C1

4.p1.q3

= 4(1/6)1(5/6)3

= 0,386

 

b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :

p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2

P(X=2) = C2

4.p2.q2

= 6(1/2)2(1/2)2

= 0,375

 

c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga :

p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4

P(X=4) = C 4

4.p4.q0 .p .q

= 1(2/6)4(2/3)0

= 0,0123

 

2. Distribusi Poisson

Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan

PENGGUNAAN DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:
a). menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari:
Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank
Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.
banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.
jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik
Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.
distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.
Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.
b). Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).

Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :
a. jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.
b. menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
c. kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

RUMUS DISTRIBUSI POISSON
Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

P(X) = µ_X . e_µ / x!

Keterangan: P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson
µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p
e = Bilangan konstan = 2,71828
X = Jumlah nilai sukses
P = Probabilitas sukses suatu kejadian
! = lambang faktorial

Soal 1
Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Probabilitas perusahaan memberikan deviden pada tahun 2002 hanya 0,1. apabila BEJ meminta laporan dari emiten sebanyak 5 perusahaan, berapa probabilitas 5 perusahaan tersebut adalah perusahaan yang membagikan deviden?
Jawab:
n = 150, X = 5, dan p = 0,1 (ini merupakan cirri distribusi Poisson, n > 50 dan p kecil yaitu )
µ = n . p = 150 x 0,1 = 15

Jadi probabilitas 5 perusahaan sample membagikan deviden hanya 0,002 atau 0,2%

 

3. Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.

Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :

Keterangan :

X = nilai data

μ = rata-rata

π= 3,14

e = 2,71828

σ= Simpangan baku

 

 Karakteristik Distribusi Normal

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yang menyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut :

1. Kurva normal berbentuk lonceng

2. Simetris

3. Asimtotis

1. Kurva berbentuk genta (μ= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris

3. Kurva normal berbentuk asimptotis

4. Kurva mencapai puncak pada saat X= μ

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai

tengah dan ½ di sisi kiri.

 

4. DISTRIBUSI SAMPLING

(Distribusi Penarikan Sampel)

 

•  Bidang Inferensia Statistik membahas generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/

peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarang

menyangkut populasi.

 

•  Sensus = pendataan setiap  anggota populasi

 

•  Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan

sampel

 

•  Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:

1.   mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang

2.    populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus

misal :  dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika

semua donat dimakan, dan donat tidak tersisa,

tidak ada yang dijual?

 

•  Sampel yang baik     →   Sampel yang representatif

Besaran/ciri sampel (Statistik  Sampel) memberikan

gambaran yang tepat mengenai besaran ukuran populasi

(Parameter Populasi)

 

Masih ingat beda antara  Statistik Sampel Vs  Parameter Populasi?

Sampel yg baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut :

1.  keacakannya (randomness)

2.  ukuran

3.  teknik penarikan sampel (sampling)  yang sesuai dengan

kondisi atau sifat populasi

 

Sampel Acak  = Contoh Random → dipilih dari populasi di mana setiap anggota

populasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota ruang sampel.

• Nilai Ekspektasi

   Salah satu dari ahli teori penggabungan informasi yang sangat terkenal dan dihormati adalah Martin Fishbein. Karya Fishbein menyoroti sifat kompleks dari perilaku yang diketahui sebagai teori nilai ekspektasi (expectancy-value theory). Menurut Fishbein, ada dua macam keyakinan. Pertama, yakin pada suatu hal. Ketika Anda meyakini sesuatu, Anda akan berkata bahwa hal tersebut ada. Kedua, yakin tentang adalah perasaan Anda pada kemungkinan bahwa hubungan tertentu ada di antara dua hal.
            Fishbein menyajikan hubungan antara keyakinan dan sikap dengan rumus:
            A₀ = ∑ B_ia_i

            Ao = sikap terhadap objek o
            B_i= kekuatan keyakinan i tentang o (mungkin atau tidak mungkin bahwa o diasosiasikan dengan konsep lainya
                                a_i= aspek evaluatif terhadap B (evaluasi dari konsep x)
            N  = jumlah kepercayaan tentang  o

Singkatnya menurut teori ini, ada tiga sumber yang mendasarinya,antara lain: Pertama, informasi dapat mengubah kemampuan untuk meyakini atau bobot terhadap keyakinan tertentu. Kedua, informasi juga dapat mengubah valance dari sebuah keyakinan. Ketiga, informasi dapat menambah keyakinan yang baru terhadap struktur sikap.

• Distribusi Binominal
  Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
  Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.
  

  Contoh

  Sebagai contoh, sebuah dadu dilempar sepuluh kali dan dihitung berapa jumlah muncul angka empat. Distribusi jumlah acak ini adalah distribusi binomial dengan n = 10 dan p = 1/6.
  Contoh lain, sebuah uang logam dilambungkan tiga kali dan dihitung berapa jumlah muncul sisi depan. Distribusi jumlah acak ini merupakan distribusi binomial dengan n = 3 dan p = 1/2.
  
  • Distribusi Multinominal
  Bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan   dengan peluang   maka sebaran peluang bagi peubah acak   yang menyatakan berapa kali terjadi dalam n ulangan yang bebas adalah
    
  
    
  Dengan dan  
• Distribusi Normal

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.
Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.